গণিতের কিছু শর্টকাট টেকনিক - পর্ব ৪

🎯গণিতের শর্টকাট টেকনিক

📌পর্বঃ-০৪

✔শতকরার কিছু কমন সমস্যা
সূত্রঃ–১
মূল্য বৃদ্ধি পাওয়া ব্যবহার কমানোর ক্ষেত্রে –
ব্যবহার হ্রাসের হার = (১০০ X মূল্য বৃদ্ধির হার) / (১০০ +
মূল্য বৃদ্ধির হার)
উদাহারণঃ
১) যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের
ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ খরব বৃদ্ধিপাবে
না
সূত্রানুসারে শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার হ্রাসের হার = (১০০X ২৫) / (১০০ +২৫)
= ২০%
২) চিনির মূল্য ২০% বৃদ্ধি পয়ায়াতে কোন এক
পরিবারের চিনি খাওয়া কেমন কমালে চিনি বাবদ
ব্যয়বৃদ্ধি পাবে না?
শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার হ্রাসের হার = (১০০X ২০) / (১০০+২০)
= ১৬.৬৭%
সূত্রঃ–২
মূল্য হ্রাস পাওয়া ব্যবহার বাড়ানোর ক্ষেত্রে –
ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০ X মূল্য হ্রাসের হার) / (১০০ –
মূল্য বৃদ্ধির হার)
উদাহারণঃ Raiul Islam Hridoy
১) কাপড়ের মূল্য ২০% কমে গেল।কোন ব্যক্তির খরচ বৃদ্ধি
না করেও কাপড়ের ব্যবহার শতকরা কতবৃদ্ধি করতে
পারে?
সূত্রানুসারে শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০X ২০) / (১০০ -২৫)
= ২৫%
২) চালের মূল্য ২৫% কমে গেল। একই খরচে চাল কেনা
শতকরা কি পরিমাণে বৃদ্ধি পাবে?
শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০X ২৫) / (১০০-২৫)
= ৩৩.৩৩%
সূত্রঃ ৩
দুটি সংখ্যার শতকরা হারের তুলনার ক্ষেত্রে –
শতকরা কম / বেশি = (১০০ X শতকরা কম বা বেশি) / (১০০
+ শতকরা কম বা বেশি)
উদাহারণঃ
১) ক এর বেতন খ এর বেতন অপেক্ষা ৩৫ টাকা বেশি
হলে খ এর বেতন ক অপেক্ষা কত টাকা কম?
শতকরা কম বা বেশি = (১০০ X ৩৫) / (১০০ + ৩৫)
= ২৫.৯৩%
২) রুমির আয় দীপুর আয় অপেক্ষা ২৫% বেশি। দীপুর আয়
রুমি অপেক্ষা শতকরা কত কম?
শতকরা কম বা বেশি = (১০০X ২৫) / (১০০ + ২৫)
= ২০%
সূত্রঃ ৪
দ্রব্যমূল্যের শতকরা হার বৃদ্ধি পাওয়া –
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (বৃদ্ধির প্রাপ্ত মূল্যে হার X মোট
মূল্য) / (১০০ + যে পরিমাণ পণ্য কম হয়েছে)
উদাহারাণঃ
১) চিনির মূল্য ৬% বেড়ে যাওয়ায় ১০৬০ টাকায় পূর্বে
যত কেজি চিনি কেনা যেত এখন তার চেয়ে ৩কেজি
চিনি কম কেনা যায়! চিনির বর্তমান দর কেজি প্রতি
কত? Raisul Islam Hridoy
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (৬ X ১০৬০) / (১০০ X ৩)
= ২১.২০ টাকা
সূত্রঃ ৫
দ্রব্যমূল্যের শতকরা হার হ্রাস পাওয়া –
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (হ্রাসকৃত মূল্যেহার X মোট
মূল্য) / (১০০ + যে পরিমাণ পণ্য বেশি হয়েছে)
উদাহারাণঃ
১) চালের মূল্য ১২% কমে যাওয়ায় ৬,০০০ টাকায়
পূর্বাপেক্ষা ১ কুইন্টাল চাল বেশি পাওয়া যায়।
১কুইন্টাল চালের দাম কত?
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (১২ X ৬০০০) / (১০০ X ১)
= ৭২০ টাকা
সূত্রঃ ৬
মূল্য বা ব্যবহার হ্রাস-বৃদ্ধির ক্ষেত্রে –
হ্রাসের হার = (বৃদ্ধির হার X হ্রাসের হার) / ১০০
উদাহারাণঃ Raisul Islam Hridoy
১) চিনির মূল্য ২০% কমলো কিন্তু চিনির ব্যবহার ২০%
বেড়ে গেল এতে চিনি বাবদ ব্যয় শতকরা কতবাড়বে বা
কমবে?
হ্রাসের হার = (২০ X ২০) / ১০০
= ৪%
সূত্রঃ ৭
পূর্ব মূল্য এবং বর্তমান মূল্য অনুপাতে দেওয়া থাকলে
মূল্যের স্তকরা হ্রাস বের করতে হলে –
শতকরা মূল্য হ্রাস = (অনুপাতের বিয়োগফল X ১০০) /
অনুপাতের প্রথম সংখ্যা
উদাহারণঃ Raisul Islam Hridoy
১) মাসুদের আয় ও ব্যয় এর অনুপাত ২০:১৫ হলে তার
মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ?
শতকরা মূল্য হার = (২০-১৫) X ১০০ / ২০
= ২৫%
টাইপ–১: (যদি দাম বাড়ে) চালের দাম যদি ৪০% বেড়ে
যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের
ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?
টেকনিকঃ কমানো % = (100 × r) / (100 – r) (দাম বাড়লে
ফর্মুলায় মাইনাস ব্যাবহার হয়েছে), এখানে r = 40%
Answer = (100 × 40)/(100 – 40) = 28.57%
টাইপ–২: (যদি দাম কমে) চালের দাম যদি ৪০% কমে
যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত বাড়ালে চালের
ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?
টেকনিকঃ বাড়ানো % = (100 × r)/(100+ r) (দাম কমলে
ফর্মুলায় প্লাস ব্যাবহার হয়েছে), এখানে r = 40% ,
Answer = (100 × 40)/(100+ 40) = 66.66%
টাইপ–৩: (যদি r এর মান ২০% দেয়া থাকে তবে বাড়ুক
কমুক যে টাইপ সমস্যাই দেয়া হোক না কেন চোখ বন্ধ
করে উত্তর হবে ২৫%, আর ২৫% দেয়া থাকলে উত্তর হবে
২০% ) Raisul Islam Hridoy
Example 1: চালের দাম যদি 25% বেড়ে যায় তবে চালের
ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত
থাকবে?
উত্তরঃ 20%
Example 2: চালের দাম যদি 20% বেড়ে যায় তবে চালের
ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত
থাকবে?
উত্তরঃ 25%
টাইপ–৪: যদি A এর আয় B এর আয় অপেক্ষা r% বেশী হয়,
তবে B এর আয় A এর আয় অপেক্ষা কম হবে = (r x ১০০) /
(১০০+r)% Raisul Islam Hridoy
সূত্রের প্রয়োগঃ ক-এর বেতন খ-এর বেতন অপেক্ষা ৩৫
টাকা বেশি হলে খ-এর বেতন ক-এর বেতন অপেক্ষা কত
কম?
সমাধানঃ (৩৫ x ১০০) / (১০০+৩৫) = ৩৫০০/১৩৫ = ২৫.৯৩
টাকা
আরো কিছু টেকনিক
1. যদি A এর আয় B এর আয় অপেক্ষা r% কম হয়, তবে B
এর আয় A এর আয় অপেক্ষা বেশী হবে = (r x ১০০)/(১০০ –
r)% Raisul Islam Hridoy
2. কোন স্থানের জনসংখ্যা p হলে এবং বৃদ্ধির হার r%
হলে, n বছর পর জনসংখ্যা হবে = p(১ + r/১০০)n
3. n বছর আগে জনসংখ্যা ছিল = p/ (১ + r/১০০)n
4. কোন স্থানের জনসংখ্যা p হলে এবং হ্রাসের
পরিমাণ r% হলে n বছর পর জনসংখ্যা হবে = p(১- r/১০০)n
5. একই বস্তুর পরপর বৃদ্ধি এবং হ্রাস পেলে বস্তুটির
পরিবর্তন হবে = (+ r) + (- r){(+ r)(- r)/১০০} , [এখানে, + r
বৃদ্ধি এবং – r হ্রাস বুঝানো হয়েছে]
6. পরপর দুটি discount থাকলে (Successive discount) = (-
r) + (- r) + {(- r) (- r)/১০০}, [এখানে, + r বৃদ্ধি এবং – r
হ্রাস বুঝানো হয়েছে] Raisul Islam Hridoy
সূত্র–১: যখন মুলধন, সময় এবং সুদের হার সংক্রান্ত মান
দেওয়া থাকবে তখন সুদ / মুনাফা = (মুলধন x সময় x সুদের
হার) / ১০০
প্রশ্নঃ ৯.৫% হারে সরল সুদে ৬০০ টাকার ২ বছরের সুদ
কত?
সমাধানঃ সুদ / মুনাফা = (৬০০ x ২ x ৯.৫) / ১০০= ১১৪
টাকা
সূত্র–২: যখন সুদ, মুলধন এবং সুদের হার দেওয়া থাকে
তখন – সময় = (সুদ x ১০০) / (মুলধন x সুদের হার)
প্রশ্নঃ ৫% হারে কত সময়ে ৫০০ টাকার মুনাফা ১০০
টাকা হবে? সমাধানঃসময় = (১০০ x ১০০) / (৫০০ x ৫)= ৪
বছর Raisul Islam Hridoy
সূত্র–৩: যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সুদের হার উল্লেখ
থাকে তখন – সময় = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সুদের হার x
১০০
প্রশ্নঃ বার্ষিক শতকরা ১০ টাকা হার সুদে কোন মূলধন
কত বছর পরে সুদে আসলে দ্বিগুণ হবে?
সমাধানঃসময় = (২– ১) /১০ x ১০০ = ১০ বছর
সূত্র–৪: যখন সুদে মূলে গুণ হয় এবং সময় উল্লেখ থাকে
তখন সুদের হার = (সুদেমূলে যতগুণ – ১) / সময় x ১০০
প্রশ্নঃ সরল সুদের হার শতকরা কত টাকা হলে, যে কোন
মূলধন ৮ বছরে সুদে আসলে তিনগুণ হবে?
সমাধানঃ সুদের হার = (৩ – ১) / ৮ x ১০০ = ২৫%
সূত্র–৫: যখন সুদ সময় ও মূলধন দেওয়া থাকে তখন সুদের
হার = (সুদ x ১০০) / (আসল বা মূলধন x সময়)
সূত্র–৬: শতকরা বার্ষিক কত টাকা হার সুদে ৫ বছরের
৪০০ টাকার সুদ ১৪০ টাকা হবে?
সমাধানঃ সুদের হার = (১৪০ x ১০০) / (৪০০ x ৫) = ৭ টাকা
সূত্র–৭: যখন দুটি আসল এবং দুটি সময়ের সুদ দেওয়া
থাকে তখন –সুদের হার = (মোট সুদ x ১০০)/ {(১ম মূলধন x
১ম সময়) + (২য় মূলধন x ২য় সময়) }
প্রশ্নঃ সরল হার সুদে ২০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ও ৫০০
টাকার ৬ বছরের সুদ মোট ৩২০ টাকা হলে সুদের হার কত?
সমাধানঃ সুদের হার = (৩২০x ১০০)/ {(২০০ x ৫) + (৫০০
x৬) } = ৮ টাকা Raisul Islam Hridoy
সূত্র–৮: যখন সুদের হার, সময় এবং সুদে-মূলে উল্লেখ
থাকে মূলধন/আসল = (১০০ xসুদআসল) / {১০০ + (সময় x
সুদের হার)}
প্রশ্নঃ বার্ষিক ৮% সরল সুদে কত টাকা ৬ বছরের সুদে-
আসলে ১০৩৬ টাকা হবে?
সমাধানঃ মূলধন/আসল = (১০০ x১০৩৬) / {১০০ + (৬ x ৪৮)} =
৭০০ টাকা
সূত্র–৯: যখন সুদ, সময় এবং সুদের হার উল্লেখ থাকবে
মূলধন = (সুদ x ১০০)/ (সময় x সুদের হার)
প্রশ্নঃ শতকরা বার্ষিক ৪ টাকা হার সুদে কত টাকার ৬
বছরের সুদ ৮৪ টাকা হবে?
সমাধানঃ মূলধন = (৮৪ x ১০০)/ (৬x ৪)= = ৩৫০ টাকা
সূত্র–১০: যখন দুটি সুদের হার থাকে এবং সুদের হার ও
আয় কমে যায় তখন, আসল = হ্রাসকৃত আয় x ১০০ / {(১ম
সুদের হার – ২য় সুদের হার) xসময়}
সূত্রঃ ১ Raisul Islam Hridoy
ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে –
[লাভের হার উল্লেখ থাকলে]
ক্রয়মূল্য = (১০০ x যত টাকা বেশী বিক্রয়)/ (ক্ষতির
শতকরা হার + লাভের শতকরা হার)
অংকঃ একজন বিক্রেতা ১২.৫% ক্ষতিতে একটি জিনিস
বিক্রি করেন। যে মূল্যে তিনি জিনিসটি
বিক্রিকরলেন, তার চেয়ে ৩০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি
করলে ক্রয়মূল্যে তার উপর ২৫% লাভ হত।
জিনিসটিরক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x যত টাকা বেশী বিক্রয়)/ (ক্ষতির
শতকরা হার + লাভের শতকরা হার)
= (১০০ x ৩০)/ (১২.৫ + ২৫)
= ৮০ টাকা
সূত্রঃ ২ Raisul Islam Hridoy
ক্ষতিতে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে –
[লাভের হার উল্লেখ না থাকলে]
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা
হার)
অংকঃ একটি ঘড়ি ৫৬০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০% ক্ষতি
হল। ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কত ছিল?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ – ক্ষতির শতকরা
হার)
= (১০০ x ৫৬০) / (১০০ – ২০)
= ৭০০ টাকা
সূত্রঃ ৩
লাভে বিক্রিত পণ্যের ক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে –
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ + লাভের শতকরা
হার)
অংকঃ একটি ছাগল ২৭৬ টাকায় বিক্রি হওয়ায় ১৫%
লাভ হয়। ছাগলটির ক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ
ক্রয়মূল্য = (১০০ x বিক্রয়মূল্য) / (১০০ + লাভের শতকরা
হার)
= (১০০ x ২৭৬) / (১০০ + ১৫)
= ২৪০ টাকা
সূত্রঃ ৪ Raisul Islam Hridoy
লাভে বিক্রিত পণ্যের বিক্রয়মূল্যের ক্ষেত্রে –
বিক্রয়মূল্য = {মোট লাভ (১০০ + লাভের হার)} / লাভের
হার
অংকঃ একটি জিনিস বিক্রি করে বিক্রেতা
ক্রয়মূল্যের ৩৫% লাভ করেন। মোট ২৮০ টাকা লাভ
হলেজিনিসটির বিক্রয়মূল্য কত?
সমাধানঃ Raisul Islam Hridoy
বিক্রয়মূল্য = {মোট লাভ (১০০ + লাভের হার)} / লাভের
হার
= {২৮০ (১০০ + ৩৫)} / ৩৫
= ১০৮০ টাকা
সূত্রঃ ৫
সংখ্যাযুক্ত পণ্যের ক্রয়মূল্য বিক্রয়ের ক্ষেত্র
শতকরা লাভ = (নির্দিষ্ট মূল্যে ক্রয়কৃত সংখ্যা –
নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রিত সংখ্যা ) x ১০০ / নির্দিষ্ট
মূল্যেবিক্রীত সংখ্যা।
অংকঃ ৮টি কমলার ক্রয়মূল্য ৬ টি কমলার বিক্রয়মূল্যের
সমান হলে শতকরা কত লাভ হবে?
সমাধানঃ
শতকরা লাভ = (নির্দিষ্ট মূল্যে ক্রয়কৃত সংখ্যা –
নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রিত সংখ্যা ) x ১০০ / নির্দিষ্ট
মূল্যেবিক্রীত সংখ্যা।
= (৮ -৬) x ১০০ / ৬
= ৩৩.৩৩%
সূত্রঃ ৬ Raisul Islam Hridoy
নির্দিষ্ট সংখ্যক পণ্যের ক্রয় বিক্রয়ের ক্ষেত্রে –
শতকরা লাভ = (বিক্রয়মূলয় – ক্রয়মূল্য) x ১০০ / ক্রয়মূল্য
অংকঃ ২০ টাকায় ১২ টি করে আমড়া কিনে প্রতিটি ২
টাকা করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?
সমাধানঃ
শতকরা লাভ = (বিক্রয়মূলয় – ক্রয়মূল্য) x ১০০ / ক্রয়মূল্য
= (২৪ – ২০) x ১০০ / ২০
= ২০% Raisul Islam Hridoy
সূত্রঃ ৭
ক্ষতিতে পণ্য বিক্রয়ের ক্ষেত্রে – [লাভের হার
উল্লেখ না থাকলে]
ক্ষতির হার = (ক্ষতি x ১০০) / (বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি)
অংকঃ একটি দ্রব্য ৩৮০ টাকায় বিক্রয় করায় ২০ টাকা
ক্ষতি হলো। ক্ষতির শতকরা হার কত?
সমাধানঃ
ক্ষতির হার = (ক্ষতি x ১০০) / (বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি)
= (২০ x ১০০) / (৩৮০ + ২০)
= ৫% Raisul Islam Hridoy
সূত্রঃ ৮
ক্ষতিতে পণ্য বিক্রয়ের ক্ষেত্রে। [লাভের হার উল্লেখ
থাকলে]
পণ্য সংখ্যা = বিক্রীত পণ্যের সংখ্যা x (১০০ –
ক্ষতি) / (১০০ + লাভ)
অংকঃ টাকায় ১২ টি লেবু বিক্রয় করায় ৪% ক্ষতি হয়।
৪৪% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি লেবু বিক্রয়করতে
হবে? Raisul Islam Hridoy
সমাধানঃ
পণ্য সংখ্যা = বিক্রীত পণ্যের সংখ্যা x (১০০ –
ক্ষতি) / (১০০ + লাভ)
= ১২ x (১০০ – ৪) / (১০০ + ৪৪)
= ৮টি লেবু
সূত্রঃ ৯ Raisul Islam Hridoy
ক্রয় বিক্রয়ে ক্রমিক সংখ্যার ক্ষেত্রে –
ক্ষতি = ১০০ / (টাকায় যতটি বিক্রি হয়)^২
অংকঃ টাকায় ৫টি ও টাকায় ৭ টি দরে সমান সংখ্যক
জামরুল কিনে টাকায় ৬ টি দরে বিক্রয় করলেশতকরা
ক্ত লাভ বা ক্ষতি হবে?
সমাধানঃ
ক্ষতি = ১০০ / (টাকায় যতটি বিক্রি হয়)^২
= ১০০ / (৬)^২
= ২ ৭/৯ %
সূত্রঃ ১০
বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা = (বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা /
ক্রয়মূল্য) x (১০০ x বিক্রয়মূল্য / ১০০ + লাভ)
অংকঃ টাকায় ৬ টা করে ক্রয় করে টাকায় কয়টা
বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?
সমাধানঃ
বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা = (বিক্রয়কৃত পণ্য সংখ্যা /
ক্রয়মূল্য) x (১০০ x বিক্রয়মূল্য / ১০০ + লাভ)
= (৬ / ১) x (১০০ x ১ / ১০০ + ২০)
= ৫ টি Raisul Islam Hridoy
সূত্রঃ–১
মূল্য বৃদ্ধি পাওয়া ব্যবহার কমানোর ক্ষেত্রে –
ব্যবহার হ্রাসের হার = (১০০ X মূল্য বৃদ্ধির হার) / (১০০ +
মূল্য বৃদ্ধির হার)
উদাহারণঃ
১) যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের
ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ খরব বৃদ্ধিপাবে
না Raisul Islam Hridoy
সূত্রানুসারে শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার হ্রাসের হার = (১০০X ২৫) / (১০০ +২৫)
= ২০%
২) চিনির মূল্য ২০% বৃদ্ধি পয়ায়াতে কোন এক
পরিবারের চিনি খাওয়া কেমন কমালে চিনি বাবদ
ব্যয়বৃদ্ধি পাবে না?
শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার হ্রাসের হার = (১০০X ২০) / (১০০+২০)
= ১৬.৬৭%
সূত্রঃ–২
মূল্য হ্রাস পাওয়া ব্যবহার বাড়ানোর ক্ষেত্রে –
ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০ X মূল্য হ্রাসের হার) / (১০০ –
মূল্য বৃদ্ধির হার)
উদাহারণঃ
১) কাপড়ের মূল্য ২০% কমে গেল।কোন ব্যক্তির খরচ বৃদ্ধি
না করেও কাপড়ের ব্যবহার শতকরা কতবৃদ্ধি করতে
পারে?
সূত্রানুসারে শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০X ২০) / (১০০ -২৫)
= ২৫% Raisul Islam Hridoy
২) চালের মূল্য ২৫% কমে গেল। একই খরচে চাল কেনা
শতকরা কি পরিমাণে বৃদ্ধি পাবে?
শর্টকাট টেকনিকঃ
ব্যবহার বৃদ্ধির হার = (১০০X ২৫) / (১০০-২৫)
= ৩৩.৩৩%
সূত্রঃ ৩
দুটি সংখ্যার শতকরা হারের তুলনার ক্ষেত্রে –
শতকরা কম / বেশি = (১০০ X শতকরা কম বা বেশি) / (১০০
+ শতকরা কম বা বেশি)
উদাহারণঃ Raisul Islam Hridoy
১) ক এর বেতন খ এর বেতন অপেক্ষা ৩৫ টাকা বেশি
হলে খ এর বেতন ক অপেক্ষা কত টাকা কম?
শতকরা কম বা বেশি = (১০০ X ৩৫) / (১০০ + ৩৫)
= ২৫.৯৩%
২) রুমির আয় দীপুর আয় অপেক্ষা ২৫% বেশি। দীপুর আয়
রুমি অপেক্ষা শতকরা কত কম?
শতকরা কম বা বেশি = (১০০X ২৫) / (১০০ + ২৫)
= ২০%
সূত্রঃ ৪
দ্রব্যমূল্যের শতকরা হার বৃদ্ধি পাওয়া –
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (বৃদ্ধির প্রাপ্ত মূল্যে হার X মোট
মূল্য) / (১০০ + যে পরিমাণ পণ্য কম হয়েছে)
উদাহারাণঃ
১) চিনির মূল্য ৬% বেড়ে যাওয়ায় ১০৬০ টাকায় পূর্বে
যত কেজি চিনি কেনা যেত এখন তার চেয়ে ৩কেজি
চিনি কম কেনা যায়! চিনির বর্তমান দর কেজি প্রতি
কত? Raisul Islam Hridoy
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (৬ X ১০৬০) / (১০০ X ৩)
= ২১.২০ টাকা
সূত্রঃ ৫ Raisul Islam Hridoy
দ্রব্যমূল্যের শতকরা হার হ্রাস পাওয়া –
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (হ্রাসকৃত মূল্যেহার X মোট
মূল্য) / (১০০ + যে পরিমাণ পণ্য বেশি হয়েছে)
উদাহারাণঃ
১) চালের মূল্য ১২% কমে যাওয়ায় ৬,০০০ টাকায়
পূর্বাপেক্ষা ১ কুইন্টাল চাল বেশি পাওয়া যায়।
১কুইন্টাল চালের দাম কত?
দ্রব্যের বর্তমান মূল্য = (১২ X ৬০০০) / (১০০ X ১)
= ৭২০ টাকা
সূত্রঃ ৬
মূল্য বা ব্যবহার হ্রাস-বৃদ্ধির ক্ষেত্রে –
হ্রাসের হার = (বৃদ্ধির হার X হ্রাসের হার) / ১০০
উদাহারাণঃ
১) চিনির মূল্য ২০% কমলো কিন্তু চিনির ব্যবহার ২০%
বেড়ে গেল এতে চিনি বাবদ ব্যয় শতকরা কতবাড়বে বা
কমবে?
হ্রাসের হার = (২০ X ২০) / ১০০
= ৪%
সূত্রঃ ৭
পূর্ব মূল্য এবং বর্তমান মূল্য অনুপাতে দেওয়া থাকলে
মূল্যের স্তকরা হ্রাস বের করতে হলে –
শতকরা মূল্য হ্রাস = (অনুপাতের বিয়োগফল X ১০০) /
অনুপাতের প্রথম সংখ্যা
উদাহারণঃ Raisul Islam Hridoy
১) মাসুদের আয় ও ব্যয় এর অনুপাত ২০:১৫ হলে তার
মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ?
শতকরা মূল্য হার = (২০-১৫) X ১০০ / ২০
= ২৫%
টাইপ–১: (যদি দাম বাড়ে) চালের দাম যদি ৪০% বেড়ে
যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের
ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?
টেকনিকঃ কমানো % = (100 × r) / (100 – r) (দাম বাড়লে
ফর্মুলায় মাইনাস ব্যাবহার হয়েছে), এখানে r = 40%
Answer = (100 × 40)/(100 – 40) = 28.57%
টাইপ–২: (যদি দাম কমে) চালের দাম যদি ৪০% কমে
যায় তবে চালের ব্যাবহার শতকরা কত বাড়ালে চালের
ব্যয় অপরিবর্তিত থাকবে?
টেকনিকঃ বাড়ানো % = (100 × r)/(100+ r) (দাম কমলে
ফর্মুলায় প্লাস ব্যাবহার হয়েছে), এখানে r = 40% ,
Answer = (100 × 40)/(100+ 40) = 66.66%
টাইপ–৩: (যদি r এর মান ২০% দেয়া থাকে তবে বাড়ুক
কমুক যে টাইপ সমস্যাই দেয়া হোক না কেন চোখ বন্ধ
করে উত্তর হবে ২৫%, আর ২৫% দেয়া থাকলে উত্তর হবে
২০% ) Raisul Islam Hridoy
Example 1: চালের দাম যদি 25% বেড়ে যায় তবে চালের
ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত
থাকবে?
উত্তরঃ 20%
Example 2: চালের দাম যদি 20% বেড়ে যায় তবে চালের
ব্যাবহার শতকরা কত কমালে চালের ব্যয় অপরিবর্তিত
থাকবে?
উত্তরঃ 25%
টাইপ–৪: যদি A এর আয় B এর আয় অপেক্ষা r% বেশী হয়,
তবে B এর আয় A এর আয় অপেক্ষা কম হবে = (r x ১০০) /
(১০০+r)% Raisul Islam Hridoy
সূত্রের প্রয়োগঃ ক-এর বেতন খ-এর বেতন অপেক্ষা ৩৫
টাকা বেশি হলে খ-এর বেতন ক-এর বেতন অপেক্ষা কত
কম?
সমাধানঃ (৩৫ x ১০০) / (১০০+৩৫) = ৩৫০০/১৩৫ = ২৫.৯৩
টাকা
আরো কিছু টেকনিক
1. যদি A এর আয় B এর আয় অপেক্ষা r% কম হয়, তবে B
এর আয় A এর আয় অপেক্ষা বেশী হবে = (r x ১০০)/(১০০ –
r)%
2. কোন স্থানের জনসংখ্যা p হলে এবং বৃদ্ধির হার r%
হলে, n বছর পর জনসংখ্যা হবে = p(১ + r/১০০)n
3. n বছর আগে জনসংখ্যা ছিল = p/ (১ + r/১০০)n
4. কোন স্থানের জনসংখ্যা p হলে এবং হ্রাসের
পরিমাণ r% হলে n বছর পর জনসংখ্যা হবে = p(১- r/১০০)n
5. একই বস্তুর পরপর বৃদ্ধি এবং হ্রাস পেলে বস্তুটির
পরিবর্তন হবে = (+ r) + (- r){(+ r)(- r)/১০০} , [এখানে, + r
বৃদ্ধি এবং – r হ্রাস বুঝানো হয়েছে]
6. পরপর দুটি discount থাকলে (Successive discount) = (-
r) + (- r) + {(- r) (- r)/১০০}, [এখানে, + r বৃদ্ধি এবং – r
হ্রাস বুঝানো হয়েছে] Raisul Islam Hridoy
পাটিগণিতের কিছু শর্টকাট ( ছোট সংখ্যা- বড় সংখ্যা,
ক্রমিক সংখ্যা, লসাগু- গসাগু )
টাইপ–১: এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যা
একটি সংখ্যা হতে যত বড় অপর একটি সংখ্যা হতে তত
ছোট। (৩০তম বিসিএস)। অজ্ঞাত দুটি সংখ্যা দেওয়া
থাকবে অপর একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।
টেকনিক: নির্ণেয় সংখ্যাটি=(১ম সংখ্যা+ ২য়
সংখ্যা)/২
উদা: একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ থেকে তত ছোট
। সংখ্যাটি কত?
উত্তর: সংখ্যাটি=(৩০১+৩৮১)/২ =৩৪১
টাইপ–২: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর দেওয়া
থাকবে সংখ্যা দুইটি নির্ণয় করতে হবে।(২৬ তম
বিসিএস)
টেকনিক: ছোট সংখ্যা=(বর্গের অন্তর-১)/২; বড় সংখ্যা
=ছোট সংখ্যা +১
উদা: দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নির্ণয় করুন , যাদের
বর্গের অন্তর ৪৭।
উত্তর: ছোট সংখ্যা=(৪৭-১)/২ =২৩; বড় সংখ্যা=২৩+১ =২৪
টাইপ–৩: কোন লঘিষ্ঠ বা ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে
আরেকটি সংখ্যা যোগ করলে যোগফল আবার ৩/৪ টি
সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে।(২৬তম /৩০তম বিসিএস)
টেকনিক: নির্ণেয় সংখ্যা= প্রদত্ত সংখ্যা গুলোর
ল.সা.গু — যা যোগ করতে বলা হবে (মনে রাখা ভালো:
যা যোগ করতে বলবে তা ল.সা.গু থেকে বিয়োগ করতে
হবে) Raisul Islam Hridoy
উদা: কোন লঘিষ্ঠ বা ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাহে ৩ যোগ
করলে ২৪,৩৬, ৪৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে।(২৬তম বি.সি.এস)
উত্তর: ২৪, ৩৬, ৪৮ এর ল.সা.গু=১৪৪ ; নিণেয় সংখ্যা=
১৪৪-৩=১৪১।
টাইপ–৪: ৬, ৮, ১০ এর গাণিতিক গড় ৭, ৯ এবং কোন
সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?
উত্তর: প্রশ্নমতে, (৬+৮+১০)/৩ = (৭+৯+ক)/৩ সুতরাং, ক = ৮
কিছু ল.সা.গু প্র্যাকটিস
প্রশ্নঃ কত জন বালককে ১২৫টি কমলালেবু এবং ১৪৫টি
কলা সমান ভাবে ভাগ করে দেয়া যায়? ৫জনকে।
(দুটিকে লসাগু করে)
প্রশ্নঃপাঁচটি ঘন্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৫, ৭, ৮,
১০ সেকেন্ড অন্তর অন্তর বাজতে লাগল। কত পরে
ঘন্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে? ১৪ মিনিট। (ল.সা.গু
করে ৬০ দিয়ে ভাগ)
প্রশ্নঃ কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৪, ৫,. ৬ দিয়ে ভাগ
করলে ভাগ করলে ভাগশেষ প্রত্যেক বার ৩ থাকবে? ৬৩।
(ল.সা.গু করে ৩ যোগ করে)
প্রশ্নঃ দুটি সংখ্যার গুন ফল ১৫৩৬। সংখ্যা দুটির
ল.সা.গু ৯৬ হলে গ.সাগু কত? ১৬ । (ভাগ করে)
প্রশ্নঃ একটি গাড়ির সামনের চাকার পরিধি ২ মিটার
এবং পেছনের চাকার পরিধি ৩ মিটার। কমপক্ষে কত
দূরত্ব অতিক্রম করলে সামনের টাকা পেছনের চাকা
পেছনের চাকা অপেক্ষা ১০ বার বেশি ঘুরবে? ৬০
মিটার। (লসাগুর সাথে ১০ গুন)
কাজ ও সময় সম্পর্কিত শর্টকাট সূত্র
টাইপ–১: যদি কাজ, সময় এবং লোক উল্লেখ থাকে
তাহলে ২য় সময় নির্ণয় করতে
টেকনিক: M1 x T1=M2 x T2; T2=M1 x T1/M2
এখানে, M1= ১ম লোক, M2=২য় লোক, T1 = ১ম সময়, T2 =
সময় Raisul Islam Hridoy
যেমনঃ ১০ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে।
৮ জন লোকের ঐ কাজ কত দিনে করতে পারে ? উত্তর :
T2=M1 x T1/M2
=১০ x ২০/৮=২০০/৮=২৫ দিন
টাইপ–২ : যদি কাজের ক্ষেত্রে পুরুষ =স্ত্রী/ বালক বা
স্ত্রী=পুরুষ/বালক এবং T1 (১ম সময়) উল্লেখ থাকে
তাহলে টেকনিক: T2=T1÷M3/M1 + M4/M2
উদাহরণঃ ২ জন পুরুষ বা ৩ জন বালক যে কাজ ১৫ দিনে
সম্পন্ন করতে পারে ৪ জন পুরুষ ও ৯ জন বালক তার দ্বিগুন
কাজ কত দিনে করতে পারে ? উঃ T2=T1÷ (M3/M1+M4/
M2) Raisul Islam Hridoy
=১৫÷(৪/২+৯/৩) = ১৫÷৫ =৩ দিন
টাইপ–৩: কোন কাজ দু’জন নির্দিষ্ট সময় পৃথকভাবে শেষ
করলে একত্রে কাজ করার ক্ষেত্রে
টেকনিক: প্রয়োজনীয় সময় = ১ম সময়(m) x ২য় সময়(n)/(১ম
সময়(m) + ২য় সময়(n)).
যেমনঃ একটি কাজ অভি একা ৬ দিনে এবং ফয়সাল ১২
দিনে শেষ করলে অভি ও ফয়সাল একত্রে কাজটি কত
দিনে শেষ করতে পারবে ?
উঃ প্রয়োজনীয় সময়= ৬ x ১২/(৬ + ১২)=৭২/১৮= ৪ দিন
টাইপ–৪: কোন কাজ দু’জনে নির্দিষ্ট সময় একত্রে করতে
পারে একজনের একা কাজটি শেষ করার ক্ষেত্রে
টেকনিক: প্রয়োজনীয় সময় =১ম সময়(m) x ২য় সময়
(n)/১মসময় (m) – ২য় সময় (n)
সমস্যাঃ একটি কাজ পুষ্পা এবং সানা ১২ দিনে এবং
পুষ্পা একা ২০ দিনে শেষ করলে সানা একা কাজটি কত
দিনে শেষ করতে পারবে ? Raisul Islam Hridoy
উঃ প্রয়োজনীয় সময়= ২০ x ১২/২০-১২=২৪০/৮=৩০ দিন
টাইপ–৫: দুই ব্যক্তি কাজ শুরু করার পর একজন চলে
গেলে কাজ শেষ হওয়ার সময়, যদি একজনের কাজের
সময় অপর জনের দ্বিগুণ হয় তবে
টেকনিক: কাজ শেষ হওয়ার সময়= ২÷৩ x (D1 + D2);
এখানে, D1= ১ম সময়, D2= ২য় সময়
যেমন: সানা একটি কাজ ১২ দিনে এবং অভি ২৪ দিনে
করতে পারে। তারা একত্রে কাজ শুরু করে এবং
কয়েকদিন পর সানা কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়,
বাকি কাজটুকু অভি ৩ দিনে শেষ করে। কাজটি কত
দিনে শেষ হয়েছিল ? Raisul Islam Hridoy
উঃ কাজ শেষ হওয়ার সময়= ২÷ ৩ x (১২+৩)= ১০দিনে।
গণিতের শর্টকাট- বর্ধিত বর্গক্ষেত্র ও আয়তক্ষেত্রের
শতকরা বৃদ্ধির পরিমাণ নির্ণয়
টাইপ–১: বর্গ ক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু ক% বৃদ্ধি হলে
ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
টেকনিক: বর্ধিত ক্ষেত্রফল= ক^2/100
সমস্যা: একটি বর্গ ক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু ১০ % বৃদ্ধি
হলে ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান: বর্ধিত ক্ষেত্রফল= ১১০^2/100 = ১২১% ; সুতরাং
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি =(১২১-১০০)=২১%(উত্তর)
টাইপ–২: বর্ধিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়।
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক% বৃদ্ধি এবং খ% হ্রাস পেলে
ক্ষেত্রফলের শতকরা কি পরিবর্তন হবে?
টেকনিক: বর্ধিত ক্ষেত্রফল= (বর্ধিত দৈর্ঘ্য X হ্রাসকৃত
প্রস্থ)/১০০ Raisul Islam Hridoy
সমস্যা: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি এবং
১০% হ্রাস পেলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কি পরিবর্তন
হবে?
বর্ধিত ক্ষেত্রফল= (১২০ X ৯০)/১০০ =১০৮ ; সুতরাং
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি=(১০৮-১০০)% =৮%(উত্তর)
Raisul Islam Hridoy